2.3.按秩合并的「并查集」

小伙伴看到这里的时候，我们其实已经实现了 2 种「并查集」。但它们都有一个很大的缺点，这个缺点就是通过 union 函数连接顶点之后，可能所有顶点连成一条线形成「图 5. 一条线的图」，这就是我们 find 函数在最坏的情况下的样子。那么我们有办法解决吗？

当然，伟大的科学家已经给出了解决方案，就是按秩合并。这里的「秩」可以理解为「秩序」。之前我们在 union 的时候，我们是随机选择 x 和 y 中的一个根节点/父节点作为另一个顶点的根节点。但是在「按秩合并」中，我们是按照「某种秩序」选择一个父节点。

这里的「秩」指的是每个顶点所处的高度。我们每次 union 两个顶点的时候，选择根节点的时候不是随机的选择某个顶点的根节点，而是将「秩」大的那个根节点作为两个顶点的根节点，换句话说，我们将低的树合并到高的树之下，将高的树的根节点作为两个顶点的根节点。这样，我们就避免了所有的顶点连成一条线，这就是按秩合并优化的「并查集」。

伪代码

// UnionFind.class
public class UnionFind {
    int root[];
    int rank[];

    public UnionFind(int size) {
        root = new int[size];
        rank = new int[size];
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            root[i] = i;
            rank[i] = 1; 
        }
    }

    public int find(int x) {
        while (x != root[x]) {
            x = root[x];
        }
        return x;
    }

    public void union(int x, int y) {
        int rootX = find(x);
        int rootY = find(y);
        if (rootX != rootY) {
            if (rank[rootX] > rank[rootY]) {
                root[rootY] = rootX;
            } else if (rank[rootX] < rank[rootY]) {
                root[rootX] = rootY;
            } else {
                root[rootY] = rootX;
                rank[rootX] += 1;
            }
        }
    };

    public boolean connected(int x, int y) {
        return find(x) == find(y);
    }
}

// App.java
// 测试样例
public class App {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        UnionFind uf = new UnionFind(10);
        // 1-2-5-6-7 3-8-9 4
        uf.union(1, 2);
        uf.union(2, 5);
        uf.union(5, 6);
        uf.union(6, 7);
        uf.union(3, 8);
        uf.union(8, 9);
        System.out.println(uf.connected(1, 5)); // true
        System.out.println(uf.connected(5, 7)); // true
        System.out.println(uf.connected(4, 9)); // false
        // 1-2-5-6-7 3-8-9-4
        uf.union(9, 4);
        System.out.println(uf.connected(4, 9)); // true
    }
}

时间复杂度

注：N 为「图」中顶点的个数。